Как пишется множество целых чисел

Что такое множество?

Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F ( friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Читайте также:  Как пишется ноль по китайски

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:

Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

9 thoughts on “Что такое множество?”

Источник

Множество целых чисел

Преподаватель математики Дмитрий Айстраханов объясняет теорию целых чисел.

Математика – фундаментальная наука, как никогда востребованная в 21 веке. Однако развитие ее началось с создания, а затем усовершенствования навыков практического счета.

Натуральные числа как идеализация однородных, устойчивых и неделимых объектов возникли еще в доисторический период. Тогда человек решал простые бытовые задачи: подсчет голов домашнего скота, учет людей, дней и т.п. Сложение стало математической моделью процесса объединения нескольких множеств в одно. Для отделения части множества служило вычитание. Чтобы эта операция была столь же полноценной, как сложение, был введен ноль и отрицательные числа.

Читайте также:  Сказки пушкина в музыке доклад

Целыми числами являются натуриальные числа, отрицательные числа и ноль.

Первым шагом к созданию множества целых числе стало использование символа ноль (по-видимому, индийскими математиками) для обозначения цифры при позиционной записи чисел. Позже ноль стал признаваться полноценным числом, которое использовалось при необходимости обозначить полное отсутствие чего-либо или кого-либо.

Первые упоминания об использовании отрицательных чисел восходят к Древнему Китаю II в. до н.э. На заре своего развития отрицательные числа использовались в качестве арифметического эквивалента долга. Примечательно, что в Древней Греции, где, как известно, зародилась западная философия, основанная на принципах рациональности, отрицательные числа не признавались. Древнегреческий математик Диофант Александрийский уже в III в. н.э. знал «правило знаков» и умножал отрицательные числа для получения положительного конечного результата, однако отбрасывал отрицательные корни уравнений как невозможные.

В Европе отрицательные числа были «официально» признаны спустя тысячу лет и очень долгое время носили обидные прозвища – «абсурдные», «ложные», «мнимые». Ученые продолжали проводить корреляцию между отрицательным числом и понятием «долга» или «недостачи». Сохранились сведения, что даже замечательный математик и философ Блез Паскаль, вычитая из ноля четыре, приходил к решению, равному нолю (потому что «нет ничего меньше, чем само ничто»). «Легализация» отрицательных чисел существенно упростила ряд математических операций: например, стал возможен перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, независимо от знака этого слагаемого.

Как мы уже поняли, отрицательные числа долгое время находились в статусе вспомогательного математического «инструмента». Лишь в XIX веке Уильям Гамильтон (ирландский математик) и Герман Грассман (немецкий физик и математик) создали вполне строгую и полную теорию отрицательных чисел.

Давайте зафиксируем самые важные теоретические положения данной темы. Все целые числа образуют множество целых чисел. Множество целых чисел бесконечно. Нельзя назвать наименьшее целое число, равно как нельзя назвать и наибольшее целое число. Наибольшее отрицательное число равняется «-1»; наименьшее положительное целое число равняется «1».

Источник

Счетность множества целых чисел

Тогда каждому числу можно поставить в соответствие натуральное число

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., 2n-1, 2n, …

Таким образом доказано, что множество Z равномощно множеству N, а значит оно счетно.

Для доказательства эффективной перечислимости множества Z необходимо установить тот факт, что все элементы множества Z могут быть перебраны по алгоритму и должны получить в результате такого перебора порядковые номера, причем без пропусков и повторений. Позже для некоторых случаев оговорка «без пропусков и повторений» будет снята, однако важным остается факт перечисления ПО АЛГОРИТМУ, т.е. неким регулярным образом.

Читайте также:  Аудио рассказ чарушин кот епифан

Счетность множества рациональных чисел

Определим рациональное число как q=n/m, где n и m – целые числа, причем m не равно 0.

Рассмотрим сначала положительные рациональные числа и запишем их в виде бесконечнойматрицы, строки и столбцы которой пронумерованы натуральными числами начиная с 1. Элемент стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца получит наименование qij

Используя диагональный метод, перечислим их (пронумеруем натуральными числами):

Т.о. каждое рациональное число получит соответствующий номер, что означает счетность множества рациональных чисел. Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа нумерации элементов натуральными числами.

Примеры несчетных множеств:

Множество вещественных чисел.

Множество всех отображений, целых чисел в целые.

Множество всех подмножеств множества положительных

Целых чисел.

(3) Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.

и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой un = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов

Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности. Последовательность < n >называется бесконечно малой, если n 0 при n . Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей < n > и < n > есть бесконечно малая последовательность.

2. Б\м последовательность – ограниченна.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Для того, чтобы последовательность < xn >сходилась к некоторому числу а необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность < an >, такая, что для всех n выполнялось xn = а + an

(4) Сходящиеся последовательности. Предел последовательности, геометрический смысл. Основные теоремы о сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Ограниченные числовые последовательности. Верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Точные верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Сходимость последовательности при .

Если существует конечный предел , то последовательность называется сходящейся.

Число a называется пределом последовательности , если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |xn – a|

Теорема 2.2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство:Пусть , а Пусть — наибольшее из чисел , т.е. . По определению, — ограничена.

Источник

Поделиться с друзьями
admin
Детский развивающий портал