Как пишется мнимая единица

Мнимая единица

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксона или в рамках алгебр по Клиффорду.

Содержание

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» и на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. — это одно из решений уравнения

или

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Читайте также:  Как пишется слово длина волос

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число является вещественным :

[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i :

[2]

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =«+1» или даже =«0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

См.также

Ссылки

Смотреть что такое «Мнимая единица» в других словарях:

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; т. о., i =. См. Комплексное число … Большой Энциклопедический словарь

Мнимая единица — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом … Большая советская энциклопедия

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — комплексное число i, квадрат к рого равен минус единице … Математическая энциклопедия

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат к рого равен отрицат. единице; т.о., i = корень из l. См. Комплексное число … Естествознание. Энциклопедический словарь

Единица — (един, один) многозначный термин. Нечто единое целое. Объект, обеспечивающий выполнение определённой функции, и который может быть заменён. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Техни … Википедия

Читайте также:  Сказка про принца и принцессу длинная

Единица (теория множеств) — Единица (един, один) многозначный термин. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Экономика 4 Государство … Википедия

Мнимая часть — комплексного числа z = х + iy, множитель у при мнимой единице (См. Мнимая единица) i; М. ч. обозначается Im z … Большая советская энциклопедия

Источник

Поделиться с друзьями
Детский развивающий портал